行列式概念


一、二三阶行列式

1. 二阶行列式定义

同时从左上到右下称为主对角线,左下到右上称为副对角线

2. 代入一元二次方程组

对于一元二次方程组:

通过加减消元,我们可以得到:

如果系数行列式

则方程组有唯一解,即:

例:解下列方程组:

解:由于系数行列式

所以方程组有唯一解

所以:

3. 三阶行列式

不同行不同列元素乘积的代数和

二、排列、逆序、逆序数

1. 排列

排列:由1,2,···,n组成的有序数组称为一个 n 阶排列。通常用 $j_1,j_2,j_3,···,j_n$表示 n阶排列。

自然排列:从1到n从小到大顺序排列成为自然排列。

例: 2 4 1 3 :4阶排列

​ 1 3 5 4 2 :5阶排列

2. 逆序与逆序数

逆序:在一个排列中,如果一个大的数排在一个小的数前面,就称这两个数构成一个逆序。

逆序数:一个排列中逆序的总数为这个排列的逆序数。用$\tau(j_1,j_2,···,j_n)$表示相关排列的逆序数。

偶排列:如果一个排列的逆序数为偶数,则称这个排列为偶排列

奇排列:如果一个排列的逆序数为奇数,则称这个排列为奇排列

例:$\tau(1\,3\,2)=0+1=1$

​ $\tau(2\,4\,3\,1)=1+2+1=4$

3.定理

  • 对换改变排列的奇偶性
  • 任意一个$n$阶排列可经过一系列兑换变成自然排列
  • 在所有的$n$阶排列中,奇偶排列各占一半

三、n阶行列式概念

1. 定义

定义

完全展开式有$n!$项。

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