行列式性质


一、上三角行列式与下三角行列式

1. 上三角行列式

  • 定义:主对角线以下全部为0的行列式称为上三角行列式。
  • 上三角行列式的值为主对角线的乘积。
  • 例:(以四阶为例)

2. 下三角行列式

  • 定义:副对角线以下全部为0的行列式称为而下三角行列式。
  • 下三角行列式的值为副对角线的乘积乘以 $(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}$。
  • 例:(以四阶为例)

3. tips

二阶与三阶行列式的对角线法到四阶行列式失灵,计算四阶行列式必须用展开公式法(根据定义展开)。

二、行列式的性质

1. 行列互换,行列式的值不变

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2. 对换行列式中两行的位置,行列式变号

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推论:行列式两行成比例,则行列式为$0$。

3. 某行有公因数$k$可以将$k$提出

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推论:若某一行元素全为$0$,则可以将$0$提出来,所以行列式的值为$0$。

4.行列式某行或某列是两个元素之和,则可以将行列式拆成两个行列式之和

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5.某行的$k$倍加到另一行,行列式的值不变

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三、例题

已知$306,527,918$都能被$17$整除,不计算行列式的值,证明:

证明:因为行列式是不同行不同列元素乘积的代数和,所以$D$必是一个整数。

将第三行的$100$倍,第二行的$10$倍都加到第一行,行列式的值不变,得到:

故$D$能被$17$整除。

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