矩阵的初等变换与初等矩阵


一、 矩阵初等变换

设A是$m \times n$矩阵,

  1. 用某个非零常数k乘A的某行(列)的每个元素
  2. 互换A的某两行(列)的位置
  3. 将A的某行(列)的k倍加到另一行(列)

称为矩阵的三种初等行(列)变换,且分别称为初等倍乘、互换、倍加行(列)变换,统称为初等变换。

例子:解下列方程组:

解:对增广矩阵做初等行变换:

解方程组:

$x_3$为自由变量

设$x_3$为$t$,则解为$\begin{cases}x_1=-1-t\x_2=2-2t\x_3=t\end{cases}$或$\begin{bmatrix} x_1\x_2\x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\2\0 \end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}{-1}\{-2} \1\end{bmatrix}$


二、初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,分别为:

  1. 倍乘初等矩阵
  2. 互换初等矩阵
  3. 倍加初等矩阵

性质1:初等矩阵$P$左乘矩阵$A$,其乘积$PA$就是矩阵$A$做一次与$P$相同的行变换。

性质2:初等矩阵$P$右乘矩阵$A$,其乘积$AP$就是矩阵$A$做一次与$P$相同的列变换。

tip:初等矩阵在左边,则矩阵做相同的行变换;初等矩阵在右边,则矩阵做相同的列变换。

例:

初等矩阵在左,且为单位矩阵第一、二行交换位置所得,则两矩阵相乘的结果为该矩阵第一、二行交换。

初等矩阵在右,且为单位矩阵第三列乘以$2$所得,则两矩阵相乘的结果为该矩阵第三列乘以$2$。

性质3: 倍加初等矩阵的逆矩阵为将倍数改为相反数的矩阵。

例:

性质4: 互换初等矩阵的逆矩阵为本身

例:

性质5: 倍乘初等矩阵的逆矩阵为将倍数改为倒数的矩阵

例:


三、矩阵等价

矩阵$A$经过有限次初等变换变成矩阵$B$,则称$A$与$B$等价,记成$A \cong B$,若$A \cong \begin{bmatrix} E_r & 0\0&0\end{bmatrix}$,则称后者为$A$的等价标准形($A$的等价标准形是与$A$等价的所有矩阵中的最简矩阵)。

矩阵等价满足:

  1. 反身性:$A \cong A$
  2. 对称性:若$A\cong B$,则$B\cong A$
  3. 传递性:若$A\cong B,B\cong C$,则$A\cong C$

四、行阶梯矩阵

设$A为m\times n$矩阵,若满足:

  1. 如果矩阵中有零行(即这一行元素全是0),则零行在矩阵的底部
  2. 每个非零行的主元(即该行最左边的第一个非零元),它们的列指标随着行指标的递增而严格增大

则称$A$为行阶梯矩阵。

image-20210326151306345


五、行最简矩阵

设$A为m\times n$矩阵,若满足:

  1. 是行阶梯矩阵
  2. 非零行的主元都是$1$,且主元所在列的其他元素都是$0$.

则称其为行最简矩阵。

image-20210326152004706


六、初等行变换求逆矩阵

设$A$为$n$阶矩阵:

  1. 在$x=A^{-1}B$结构中求$x$的值时:

将$A$和$B$两个矩阵拼接在一起,再进行初等行变换,转化为$Ex$

求得$x$

  1. 在$x=BA^{-1}$结构中求$x$的值时(利用转置):

$x^{T}=(BA^{-1})^{T}=(A^T)^{-1}B^T$,将$A^T$和$B^T$两个矩阵拼接在一起,再进行初等行变换,转化为$Ex^T$,最后求得$x$


七、秩的概念

$K$阶行列式:在$m \times n$矩阵$A$中,任取$K$行与$K$列($K \le m,K \le n$)。位于这些行与列的交叉点上的$K^2$个元素,按其在原来和矩阵$A$的次序可构成一个$K$阶行列式,称其为矩阵$A$的一个$K$阶子式。

秩:若矩阵$A$中存在$r$阶子式不为$0$,$r+1$阶子式(如果存在)全为$0$,则对称矩阵$A$的秩为$r$,记为$r(A)=r$,零矩阵的秩规定为$0$

定理:经过初等变换矩阵的秩不变。 推论:若可逆矩阵$ P,Q$,使得$PAQ=B$,则$r(A)=r(B)$ 。即一个矩阵做有限次初等行变换和初等列变换之后,秩不变。

秩的性质:

  1. $0 \le r(A_{m \times n}) \le min(m,n)$
  2. $r(A^T)=r(A)$
  3. $r(A+B) \le r(A) + r(B)$
  4. $r(kA)=r(A)\quad k\neq0$
  5. $r(AB) \le min(r(A),r(B))$
  6. 如果$P,Q$可逆,则$r(PAQ)=r(A),r(PA)=r(A),r(AQ)=r(A)$
  7. $r\begin{bmatrix} A & 0 \ 0 & B \end{bmatrix}=r(A)+r(B)$
  8. $max(r(A),r(B)) \le r(A|B) \le r(A)+r(B)$ (中间是A的增广矩阵)
通过秩判断方程组是否有解:

image-20210328233251773

将方程组的增广矩阵通过初等变换变换为以下形式:

image-20210328233325036

  • 若$d_{r+1} \ne 0$,则方程组无解
  • 若$d_{r+1}=0$,则方程组有解

定理(方程组有解判定):$n$元线性方程组 $Ax=b$

  1. 无解$\quad \leftrightarrow \quad r(A)+1=r( \overline A)$
  2. 唯一解$\quad \leftrightarrow \quad r(A)=r( \overline A)=n$

  3. 无穷多解$\quad \leftrightarrow \quad r(A)=r( \overline A)<n$

定理: $n$元齐次线性方程组$AX=B$有解$\quad \leftrightarrow \quad r(A,B)<n$

0%